南开大学《抽象代数》2021-2022学年期末试卷

南开大学2021-2022学年第二学期数学学院《抽象代数》期末试卷专业：年级：学号：姓名：题目三四五六卷面成绩得分一、（本题30分）解答下列问题：1.试叙述群的正规子群的概念，并举出一个群的非正规子群的例子2.试叙述循环群的概念，并详细叙述阶数最小的交换而非循环的群的结构（写出乘法表）3.试叙述环的理想的概念，并举出一个环的子环但非理想的例子.4.试叙述域的有限扩张和代数扩张的概念，并举出一个域的代数扩张但不是有限扩张的例子，二、（本题15分）设G为群，且G只有{c}和G两个子群，其中e为单位元.试证明G={}或G为素数阶循环群.三、（本题15分）设R为整环，U为R的单位群，I为R的理想，令U={a∈Ula-1∈I},其中1为R的单位元.试证明U,为U的子群.