设 $x = f^{-1}(y)$ 为函数 $f(x) = 2x + \ln x$ 的反函数，则 $dx|_{y=2}=$ \_\_\_\_

设函数 $f(x) = \arctan x - \frac{1}{1 + ax^2}$ ，且 $f''(0) = 1$ ，则 $a =$ \_\_\_\_

曲线 $y=\frac{x^{3}}{1+x^{2}}+\arctan(1+x^{2})$ 的斜渐近线方程为 \_\_\_\_

已知函数 $f(x)$ 在 $(- \infty, +\infty)$ 上连续，且 $f(x) = (x + 1)^2 +$
$2\int_{0}^{x}f(t)dt,$ 则当 $n\geq2$ 时， $f^{(n)}(0)=$ \_\_\_\_

已知动点 P 在曲线 $y = x^{3}$ 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 L，若点 P 的横坐标时间的变化率为常数 $v_{0}$ ，则当点 P 运动到点 (1,1) 时，L 对时间的变化率是 \_\_\_\_

$\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}tln(1+tsint)dt}{1-cosx^{2}}=\underline{\hspace{2cm}}$

$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}\ln\left(1+\frac{k}{n}\right)=$ \_\_\_\_

设 $y = y(x)$ 满足 $y'' + 2y' + y = 0$ , 且 $y(0) = 0, y'(0) = 1$ , 则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) dx =$ \_\_\_\_
二、（6分）求极限 $\lim_{x\to0}\frac{(x-\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}dt)x^{2}}{\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})^{2}\int_{0}^{x-\ln(1+x)}\frac{sint^{2}}{t}dt}.$
三、（8分）已知函数 $y(x)$ 由方程 $x^{3}+y^{3}-3x+3y-2=0$ 确定,求 $y(x)$ 的极值.
四、(8 分) 设 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上有定义，且满足 $2f(x) + x^{2}f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{x^{2} + 2x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ (I)求 $f(x)$ .
(II)求曲线 $y = f(x), y = \frac{1}{2}, y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 及 $y$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周的体积.
五、（8分）设函数 $f(x)$ 在[0,2]上具有连续函数 $f(0) = f(2) = 0, M = \max_{x \in [0,2]} \{|f(x)|\}$
证明:(I)存在 $\xi\in(0,2)$ ，使得 $\left|f'(\xi)\right|\geq M;$
(II)若对任意的 $x\epsilon (0,2),\left|f^{\prime}(\xi)\right|\leq M,$ 则 $M = 0$
六、（7分）求函数 $y = \ln x$ 对应的曲线在(1,0)处的曲率圆方程.
七、（8分）设数列 $\{x_{n}\}$ 满足：
证明： $\{x_{n}\}$ 收敛，并求 $\lim_{n\to \infty}x_n$