设 $y = \ln(x + \sqrt{x^{2} + 1})$ ，求 $y'' =$ \_\_\_\_ .

设 $y = \lim_{t \to 0} x^{2}(1 + t^{2})^{\frac{x}{\sin t^{2}}}$ ，则 dy = \_\_\_\_.

$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^{3}+1}+\frac{1}{n^{3}+2}+\cdots+\frac{1}{n^{3}+n}\right)=$ \_\_\_\_.

设 $\lim_{x\to+\infty}(x^{2}+2x)^{\frac{1}{x}}=$ \_\_\_\_.

设 $f(u)$ 可导， $y = f(x^2)$ 在 $x_0 = -1$ 处取得增量 $\Delta x = 0.05$ 时，函数增量 $\Delta y$ 的线性部分为

15, $f'(1) =$ \_\_\_\_.

当 $x \to 0$ 时, 变量 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是( ).

设 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在点 x=0 可导的充要条件为( ).

若曲线 $y = x^{2} + ax + b$ 和 $2y = -1 + xy^{3}$ 在 $(1, -1)$ 处相切，其中 a, b 是常数，则 ( ).

设 $f(x)$ 可导， $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$ ，若 $F(x)$ 在 x=0 处可导，则必有( ).