计算极限 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } ( 1 + 2 \sin x ) ^ { 3 / x }$

计算极限 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { \tan x - \sin x } { x - \sin x } }$

计算极限 $\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { \sqrt { 1 + x } + { \sqrt { 1 - x } } - 2 } { x ^ { 2 } } }$

计算 $f ( x ) = \cos x ^ { \sin x }$ 的导数

设 $\rho = \sin 3 \theta$ ，计算导数 $\frac { d y } { d x }$

设 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x = \sin t } \\ { \displaystyle \sin t } \\ { \displaystyle y = \displaystyle \int _ { 0 } e ^ { \cos x } d x } \end{array} \right. ,$ ，计算导数 $\frac { d y } { d x }$

计算积分 $\int \frac { \sin \sqrt { x } } { \sqrt { x } } d x$

计算积分 $\int \tan ^ { 3 } x \sec x d x$

计算积分 $\int \sin \ln x d x$
二（10分）求由方程 $x - y + { \frac { 1 } { 2 } } \sin y = 0$ 所确定的隐函数y的二阶导数 $\frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } }$
三（10分）求圆片 $\left( x - a \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq R ^ { 2 }$ 绕y 轴所得的旋转体体积
四（10分）一圆柱形水桶高为H，底半径为r 米，桶内装满水。如果问把桶内水全部吸出，问至少要做多少功？
五（10分）求幂级数 $: \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n x ^ { 2 n }$ 的和
六（5 分）证明当 $0 < x < \frac { \pi } { 2 }$ 时， $\tan x + 2 \sin x > 3 x$
七（5分）证明极坐标曲线 $r = r ( \theta )$ 的曲率公式为 $K = { \frac { \mid r ^ { 2 } + 2 r ^ { \prime 3 } - r r ^ { \prime \prime } \mid } { ( r ^ { 2 } + r ^ { \prime 2 } ) ^ { 3 / 2 } } }$ 。据此说明双纽线 $r ^ { 2 } = \cos 2 \theta$ 的曲率半径与r 呈反比