计算极限 $\lim_{x\to0}(1+3\tan^{2}x)^{\cot^{2}x}$

计算极限 $\lim_{x\to 0}[x - x^2\ln (1 + \frac{1}{x})]$

计算极限 $\lim_{n\to +\infty}n\ln (\sqrt[n]{3} -1)$

计算 $f(x)=x^{x^{x}}$ 的导数

设 $\rho = \sin \theta +\cos \theta$ ，计算导数 $\frac{dy}{dx}$

设 $\left\{\begin{aligned} x &= \sin t \\ y &= t - \int_{0}^{\sin t} e^{-x^{2}} dx \end{aligned}\right.$ ，计算导数 $\frac{dy}{dx}$

计算积分 $\int \cos^3 x dx$

计算积分 $\int \sin 7x\cos 3xdx$

计算积分 $\int \frac{x - 1}{x^2 + 2x + 3} dx$
二（10分）求由方程 $\int_0^y e^{t^2}dt + \int_0^{x^2}\frac{\sin t}{\sqrt{t}} = 1$ 所确定的二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$
三（8分）计算由摆线 $x = a(t - \sin t), y = a(1 - \cos t)$ 一拱的下方图绕 $y$ 轴所得的旋转体体积
四（8 分）由抛物线 $y = x^{2}$ 与 $y = 4x^{2}$ 绕 y 轴旋转一周得一容器，其高为 H，
如果容器内装满水，问把水全部抽出，至少要做多少功？
五（10分）求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n+1}$ 的和
六（8分）设 $x > 1$ 且 $x \neq 0$ ，证明 $\frac{x}{1 + x} < \ln (1 + x) < x$
七（6分）设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续， $f''(x)$ 在 $(a,b)$ 内存在，若 $f(a) = f(b) = 0$ 且存在 $c \in (a,b)$ ，使 $f(c) > 0$ 证明存在 $\xi \in (0,1)$ ，使得 $f''(\xi) < 0$
八（5分）若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点取极小值，且右导数 $f_{+}^{\prime}(x_0)$ 在 $x_0$ 点连续，证明 $f_{+}^{\prime}(x_0) = 0$