设 $N_{k}$ 表示不超过 k 的正整数集,在全集为 $N_{10}$ 时, $N_{3}$ 的补集为 $\overline{N_{3}}=$ \_\_\_\_, $N_{4}\cup(N_{8}-N_{2})$ 的补集为\_\_\_\_.

设为 A 为 n 元集,则集合 $A \times P(A)$ 的计数为 $|A \times P(A)| =$ \_\_\_\_.

两集合(0,2)与(1,2008]\_\_\_\_(填”是“或”不是”)等势,自然数集N与实数集R\_\_\_\_(填”是”或”不是”)等势.

设集合 $A = \{1,2,3,4\}$ , $R = \{(1,2),(3,3),(1,1),(2,3)\}$ 为 A 上的一个关系, 则 R 的关系矩阵是 $M_R =$ \_\_\_\_, $R$ 的逆关系为 $R^{-1} =$ \_\_\_\_, $R^2 =$ \_\_\_\_, $R$ 的自反闭包是\_\_\_\_, 对称闭包是\_\_\_\_.

在同构的意义下,4元布尔格的哈斯图是\_\_\_\_.


三.设集合 $M = \{(a_{ij})_{2\times 2} \mid a_{ij} = 0,1\}$ , 定义 M 上的二元关系 $\preceq: A \preceq B \Leftrightarrow a_{ij} \leq b_{ij}, i, j = 1,2$

证明: $\preceq$ 是 M 上的一个部分序关系;

画出部分序集 $(M, \preceq)$ 对应的哈斯图，并指出其中的最大元和最小元；

证明部分序集 $(M, \preceq)$ 是一个布尔格,并指出其中的所有原子;

设 $M^{(0)} = \{(a_{ij})_{2\times 2} \mid a_{ij} = 0,1,\mathrm{det}((a_{ij})_{2\times 2})\neq 0\}$ ，问 $(M^{(0)},\preceq)$ 是否为 $(M,\preceq)$ 的子格，为什么？

四. 设 $z_{n} = \{[0], [1], \cdots, [n-1]\}$ 是整数模 n 剩余类集合，另一集合为 $z_{n}^{(0)} = \{[k] \mid [k] \in Z_{n}, \gcd(k, n) = 1\}$ ,
在 $z_{n}$ 和 $z_{n}^{(0)}$ 上定义运算 “\*” 如下：对 $z_{n}$ 和 $z_{n}^{(0)}$ 中任意元素 [i], [j]，有：[i] \* [j] = [ij]，

证明 $(z_{n},*)$ 是半群,但不是群;