设 $D = \{ ( x , y ) { \big | } | x | \leq 1 , 0 \leq y \leq 1 \}$ ，计算二重积分 $\iint _ { D } | y - x ^ { 2 } | { \mathrm { d } } x { \mathrm { d } } y$

计算对面积的曲面积分 $\iint _ { S } ( y + z ) \mathrm { d } S$ ，其中 为圆柱面 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = R ^ { 2 }$ 介于平面 及 $z = 1$ 之间的部分.
六、（8 分）设有曲线： $\left\{ { \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 6 , } \\ { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 3 z , } \end{array} } \right.$ 及曲线上一点 ：
1）求曲线在点 处的切线 的方程；
2）验证与L在 面上的投影在点 $M ^ { \prime } ( 2 , 0 , 1 )$ 处相切.
七、(8 分)求幂级数 $\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 2 ^ { n } + ( - 3 ) ^ { n } } { n } } x ^ { n }$ 的和函数及收敛域.
八、（10 分）1)确定常数 ，使得对平面上任意分段光滑闭曲线 ，均有 $\oint _ { L } ( 2 x y - y ^ { 4 } + 5 ) { \mathrm { d } } x + ( x ^ { 2 } - a x y ^ { 3 } ) { \mathrm { d } } y = 0$
2)对于该常数，求二元函数 ，使得 $\mathrm { d } u ( x , y ) = ( 2 x y - y ^ { 4 } + 5 ) \mathrm { d } x + ( x ^ { 2 } - a x y ^ { 3 } ) \mathrm { d } y$ ，且 $u ( 0 , 0 ) = 0$
九、（8 分 ）计 算 曲 面 积 分 $I = \iint _ { S } ( x ^ { 3 } + 2 z x ) \mathrm { d } y \mathrm { d } z + ( 2 y ^ { 3 } + 3 x y ) \mathrm { d } z \mathrm { d } x + ( 3 z ^ { 3 } + 4 y z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } y$ 其 中 是球面$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1$ 的内侧.
十、(8 分)将函数 $f ( x ) = x \arctan x$ 展开成 的幂级数，并写出该幂级数的收敛域.

设函数 $f ( x , y ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \frac { ( y - x ) x ^ { 4 } } { ( y - x ) ^ { 4 } + x ^ { 6 } } } , } & { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \neq 0 , } \\ { \qquad 0 , } & { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 0 , } \end{array} \right. }$ 考虑如下问题：
1）计算该函数在点 处沿方向 $\vec { l } = ( \cos \alpha , \sin \alpha )$ 的方向导数；
2）证明该函数在点 处不连续.
十二、 （4 分） 阅读如下材料：利用指数函数的幂级数展开式 $\displaystyle \mathbf { e } ^ { x } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { n } } { n ! } } \left( x \in \mathbb { R } \right)$ 可以拓展到复数域上的结论，即$\mathbf { e } ^ { z } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { z ^ { n } } { n ! } } ( z \in \mathbb { C }$ . 并且对于复数 $z = a + i b$ ，依然有 $ { \mathbf { e } } ^ { a + i b } = { \mathbf { e } } ^ { a } { \mathbf { e } } ^ { i b }$ 以及 $\left( \mathbf { e } ^ { a + i b } \right) ^ { n } = \mathbf { e } ^ { n ( a + i b ) }$ ，而且有被称为欧拉公式的如下等式： $\mathbf { e } ^ { i x } = \cos x + i \sin x \ , \mathbf { e } ^ { - i x } = \cos x - i \sin x$
问题：若将函数 $\mathbf { e } ^ { x } \cos x$ 展开成幂级数 $\displaystyle \mathbf { e } ^ { x } \cos x = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } x ^ { n } , ( x \in \mathbb { R } )$ ，试给出 $a _ { n }$ 的表达式.